OpenAI解决了上百个数学猜想，现在openAI全部公布出来了(GitHub 仓库 github.com/openai/math)。

共包含 722 篇预印本手稿，涵盖了 372 个核心成果大类（Result families），横跨数论、代数几何、调和分析、偏微分方程、极值与结构组合学、李理论与几何朗兰兹、几何群论、拓扑学、算子代数、计算复杂性理论以及数学物理等诸多前沿领域。大部分手稿，已经经过了Lean的形式化验证。要是数学家写的，能拿好多个菲尔兹奖了。

它还证明了特殊情况下的霍奇猜想（CM阿贝尔簇），霍奇猜想本身是另一个千禧年难题。
一共给了它四千个问题。它解决了其中一部分。用的是未发布的模型，平均而言每个问题用了ChatGPT Pro thinking模式三个小时的计算时间。其中朗道西格尔零点和特殊情况下霍奇猜想的解决是个例外，花费时间远不止三小时。也许说明它们格外难。

这里先列举四十个重要结果：
1. 准黎曼猜想与朗道-西格尔零点排除 (003. The quasi-Riemann hypothesis)
素数（只能被 1 和自身整除的数）的跳动看似杂乱无章，但大数学家黎曼发现，所有素数的分布规律都由一根“隐形琴弦的共振频率”（数学上的函数零点）决定。著名黎曼猜想认为所有关键振动频率都整齐排列在一条中心线上。
长期以来，数论学家最忌惮在某些区域出现极端的“反常幽灵频率”（朗道-西格尔零点），它会彻底破坏素数分布的精细预测。该成果不仅在极宽的安全半平面（实部大于 7/8）证明了绝无任何杂乱零点，还彻底排除了幽灵零点的存在，无条件地为素数分布立下了一道不可动摇的安全铁壁。

2. 希尔伯特第十问题在有理数域上的不可判定性 (004. Hilbert’s tenth problem over ℚ)
早在 1900 年，数学领袖希尔伯特提出了一个梦想：能不能编写一个万能的判定软件，只要输入任意包含多个未知数的代数方程，它就能自动算出来“这个方程到底有没有解”？
几十年前人们证明了如果只找“整数解”，万能程序是不可能存在的；但大家一直期盼找“分数（有理数）解”或许还有一丝希望。这项成果给出了终极判决：即使只要求找分数解，通用的自动算法在逻辑上也绝无可能诞生。数学中存在人类与计算机永远无法机械化穷尽的盲区。

3. 低 Selmer 余秩下的完整 BSD 公式 (002. The full BSD formula from low Selmer corank)
椭圆曲线是现代互联网加密安全的核心支柱。二十多年前被列为千禧年七大数学难题之一的 BSD 猜想预言：通过微积分的连续分析算出一个光滑数值，就能精确预测出椭圆曲线上到底有多少个离散的分数解。

手稿证明了在余秩为 0 或 1（这是绝大多数椭圆曲线的常态）的情况下，BSD 预言的前导项完整公式严格精确成立，且相关的代数群结构是有限的。这是人类向完全攻克这一百万美元千禧大奖难题迈出的决定性一步。

4. 独特博弈猜想与最优近似门槛 (102. The Unique Games Conjecture and optimal approximation thresholds)
在现实生活中，诸如芯片最优布线、航线调度等顶级规划问题，如果非要在计算机里算出百分之百的最优解，耗时可能比宇宙寿命还长。因此科学家只能退而求其次寻找“近似解”。
二十多年前提出的“独特博弈猜想（UGC）”是现代计算理论的皇冠。这项手稿彻底证明了该猜想成立，这相当于给所有算法判了“死刑”：对于许多经典难题，现有算法能达到的近似精度已经是理论极限，哪怕想再把精度提升百分之一，在计算复杂性上也等同于要求计算机去完成不可能的任务。

5. 对数空间确定性去随机化：L = RL = BPL (103. Exact derandomization of logarithmic space: L = RL = BPL)
在编程设计算法时，如果允许程序“抛硬币做随机选择”，它能不能在内存极度受限（对数空间）的情况下，解决那些死板规律无论如何也搞不定的难题？
该成果证明：在有限内存空间下，带有随机性的概率算法和完全不带随机性的死板程序，解决问题的能力是绝对等价的（L = RL = BPL）。这终结了半个世纪以来的争论，证明“随机性”并不能在本质上突破低内存运算的极限。

6. 圆周率 π 的无理性指数恰好为 2 (017. The irrationality exponent of π is 2)
圆周率是一个无限不循环的小数，人们很早就用诸如 22/7 或 355/113 这样的分数去近似逼近它。数学家一直在问：用分数去逼近圆周率，精度的理论极限究竟在哪里？
此前人类最好的数学工具也只能证明其逼近指数小于 7 左右。该手稿证明了圆周率的逼近指数恰好等于理论所允许的最完美底线数值 2。这意味着圆周率在数字海洋中处于最理想的均匀平衡状态，顺带还彻底解决了一个困扰分析学界几十年的无穷级数收敛悬案。

7. 自由群因子的同构问题 (287. Isomorphism of the free group factors)
量子力学奠基人冯·诺依曼在 20 世纪 30 年代创立算子代数时提出了一个根本问题：由 2 个相互独立的量子自由度生成的无限维连续世界，和由 3 个、乃至无穷多个自由度生成的无限维世界，在本质上是同一个空间吗？
为了回答这个世纪难题，数学界开创了诸如“自由概率论”等一整个现代数学分支。手稿给出了终极答案：它们之间完全同构！不管最初由几个自由度生成，它们演化出的深层量子算子空间完全是同一个。

8. 汤普森群 F 的非均分性 (248. Thompson's group F is nonamenable)
这是一个将一根线段不断对折剪开、重新拼接的特殊几何对称群。自 1965 年被提出以来，数学家为了搞清楚它到底能不能被一种平滑合理的“平均化尺度”所衡量，六十年来顶尖学者分裂成了截然对立的两大阵营。
该群既表现得像最温和的简单群，又在边界上展现出狂暴的反常特性，长期被视为几何群论的试金石。手稿最终一锤定音：它绝对无法被平均化（不可均分）。

9. Hadwiger 图染色猜想被反例推翻 (157. Graph coloring, clique minors, and Colin de Verdière invariants)

著名的“四色定理”告诉我们：给平面地图涂色，保证相邻国家颜色不同，4 种颜色就够了。1943 年，数学家哈德维格提出更宏大的预言：任何复杂网络需要多少种颜色，完全取决于网络内部能缩减出多大的“人人互通的小圈子”。
八十年来，离散数学界几乎所有学者都直觉坚信这一猜想绝对正确（甚至保罗·埃尔德什称其为图论中最深奥的猜想）。然而，手稿却破天荒地构造出了一个精心设计的反例，彻底推翻了这一共识，在离散数学界引发了地震。
10. Kaplansky 群代数零因子猜想的反例 (196. A counterexample to Kaplansky’s zero-divisor conjecture)
在最朴素的小学算术里，两个不是零的数相乘，结果绝对不可能是零。代数大师卡普兰斯基在 1940 年代猜测：在一类没有周期旋转特性的群代数世界里，这个“非零相乘不为零”的铁律依然成立。
手稿成功构造出了一个极其复杂的反例世界：在这个代数世界里，两个本身完全不是零的代数对象，相乘之后竟然完全抵消变成了零！长达八十年的代数猜想由此告破。
11. Sidorenko 猜想与强迫猜想的反例 (161. Counterexamples to Sidorenko’s conjecture and the forcing conjecture)
在复杂的网络与图论中，人们长期有一个直觉：如果连线完全是随机分布的，某种特定图案在其中出现的概率应当是一个“最底线”；而非随机的网络因为局部扎堆，该图案出现的概率理应更高。
手稿设计了一个包含 35 个节点、66 条边的奇特图案。在某些非随机网络中，这个图案出现的频率竟然比纯随机网络还要低。这个反例推翻了准随机图论的核心预设。
12. 矩阵乘法指数大幅压缩至 2.25 与大整数乘法破界 (107 & 109)
两个巨大的方阵相乘，或者两个几百亿位的超大整数相乘，计算机最少需要多少步基本运算？
方阵乘法：过去几十年来，全世界顶级科学家在矩阵乘法指数上只能一点一点艰难微调（停留在 2.37 左右），而手稿 107 直接将指数一口气压缩到了 2.25，实现了计算代数领域的巨幅跃升。
大整数乘法：半个世纪以来，学术界普遍相信德国数学家施恩哈格与施特拉森预言的乘法时间就是经典多带计算机的物理下限，手稿 109 构造出了超越该下限的算法，打破了神话。
13. 阿廷原始根猜想对所有合法底数成立 (029. Primitive roots for every admissible integer base)
想象把钟表的刻度放大到任意巨大的素数刻度。如果选一个基准数字，不断给它乘方、看它在钟表上的落点，能不能恰好把表盘上的每个刻度不重不漏地走个遍？
高斯两百年前就注意到了这个现象，阿廷在 1927 年正式提出猜想。近百年来，所有关于这个猜想的最好进展都必须建立在一个前提下——“假定广义黎曼猜想成立”。这项手稿首次在不依赖任何额外假设的前提下，完全证明了它对所有合理的基数都成立。
14. 任意维度的希尔伯特-史密斯猜想 (304. The Hilbert–Smith conjecture in every dimension)
如果一个由许多对称动作构成的变换群在几何空间上平滑连续地起作用，它自身会不会像分形雪花一样内部充满毛刺和粗糙结构？
源于 1900 年希尔伯特第五问题的高阶拓扑推广，数学家一直相信这种群自身必须像滚珠轴承一样处处光滑（必须是李群）。手稿在任意维度下终结了这个一百二十多年的疑问。
15. 三维与四维空间中的挂谷猜想 (074. Kakeya in three and four dimensions)
在空间里有一根长度为 1 厘米的细针，如果让它在各个方向都能掉个头（360 度旋转），它扫过的轨迹集合在空间维度上最多能被压缩到什么程度？
这个看似脑筋急转弯的问题，实际上深切关乎光波与无线电波在多维空间中相互干涉的数学本质。几代调和分析大师长年攻坚，手稿彻底确立了它在三维和四维空间中的维度预测。
16. 任意维数下 Fujita 自由性猜想 (038. Fujita’s freeness conjecture)
在研究高维弯曲空间时，如何把空间“展平”并投射到标准射影空间中而不产生任何破损、重叠或死角（无基点生成）？
这是现代高维代数几何中最基础的性质。自 1987 年提出以来，长期仅在低维取得局部突破，全维数且达到理论最尖锐边界的证明，被誉为高维几何的一座丰碑。
17. 丘成桐复单值化猜想 (338. Yau's uniformization conjecture)
著名华人数学家丘成桐在 1970 年代提出猜想：如果一个多维几何空间的曲率在每个局部、每个方向上都严格往内弯（曲率处处为正），这个空间在宏观上会长成什么样？
手稿证明：这类空间内部绝不会产生奇形怪状的结或死角，在宏观几何与拓扑上，它完完全全等价于最简单、最平坦的普通复欧氏空间。
18. 坎农猜想：双曲群与三维双曲流形 (246. Cannon's conjecture)
我们能不能光靠一张纯符号的代数乘法规则表，就判断出背后其实暗藏着一个像爱因斯坦广义相对论时空一样的三维双曲宇宙？坎农猜想提出了一个几何判据。
该成果证明了坎农猜想完全正确，它把纯抽象的离散代数符号与爱因斯坦式的低维引力几何空间天衣无缝地锁在了一起。

19. 三维 Navier–Stokes 流动中的通用图灵机计算 (376. Universal computation in forced Navier–Stokes flows)
描述水流、空气等流体运动规律的纳维-斯托克斯方程，一直被视为经典物理学最核心的定律之一。
手稿证明：在三维水流中施加恰当的光滑外力，水流内部的流动旋涡竟然能完全模拟一台通用计算机（图灵机）！某个微小水滴最终会不会流到指定的水池，在数学上等价于计算机程序会不会停机。这用近乎科幻的方式证明了：流体物理不仅极其混沌，而且在数学本质上具有无法提前预知的计算复杂性。
20. 分拆原则不蕴含选择公理 (244. The Partition Principle does not imply Choice)
在纯逻辑的集合论中，“如果把全班同学分成若干小组，那小组的总数绝对不可能比全班总人数还多”——这个听起来天经地义的直觉，在数学上被称为分拆原则。数学家很早就想知道：仅凭这个直觉，能不能在逻辑上严格推导出著名的“选择公理”？
这是公理集合论中历史上最古老的一个未解之谜（诞生于 1905 年，甚至比现代集合论公理体系的确立还要早）。整整一百二十年里，逻辑学家一直无法确定两者是否等价。手稿成功构造出了一个奇异的数学平行宇宙：在那个宇宙里，分拆原则完全成立，但选择公理却彻底失效了。
21. 卡塔兰常数的无理性 (005. Irrationality of Catalan’s constant.)
在数学常数家族中，圆周率与自然对数的底都是家喻户晓的无理数。但常数卡塔兰常数（由正负交替的奇数平方倒数无限相加而成）自十九世纪被发现以来，人类一直不知道它到底能不能写成两个整数相除的分数。
手稿彻底证明了卡塔兰常数是一个无理数，绝不可能表示为整数之比，填补了经典分析学长达一个半世纪的常数谱系空白。
22. 奥斯特曼逆哥德巴赫猜想 (013. Ostmann’s inverse Goldbach conjecture.)
著名的哥德巴赫猜想认为每个大偶数都是两个素数之和；而奥斯特曼在 1950 年代提出了逆向问题：全体素数能不能由两个各有无限多个数字的神秘集合相加还原出来？也就是说，素数在加法意义上是不是不可拆解的基石？
手稿证明素数集合具有绝对的加法不可分解性：哪怕允许从素数表中丢弃或补充有限个数字，也绝不可能找到两个各有至少两个元素的集合使得它们的相加组合刚好拼出所有素数。
23. 高斯素数护城河猜想 (028. Uniformly bounded components of Gaussian-prime graphs.)
把素数推广到二维平面上的复数网格（高斯素数），想象每一个高斯素数都是水面上的一块踏脚石。如果一只青蛙每次跳跃的最大跨度是固定的，它能不能踩着这些素数石头一步一步跳向无限远方？还是说素数之间必然会出现无法逾越的空隙？
手稿证明了高斯素数护城河必然存在：无论你把单步跳跃距离设定得多宽，所有能够相互跳达的素数石头所构成的连通区域面积全部都是有限的，绝对不存在一条步长有界的无限跳跃路线。
24. 四维扎里斯基消去猜想的反例 (047. Zariski cancellation and affine fibrations over the complex numbers.)
直觉上，如果两个不同形状的房间各自连接上一条一模一样的笔直长廊后，两个整体建筑变得完全分毫不差，那么这两个房间原本是不是也必须一模一样？在多维几何中，这就是著名的扎里斯基消去问题。
手稿在四维复空间中构造出了一个不可思议的反例：两个原本结构不同的四维空间，各自乘上一条一维直线后，整体空间完完全全同构，这打破了代数几何学界长期以来的朴素直觉。
25. 希尔伯特第十六问题：极限环数量的统一步长界 (143. Hilbert's sixteenth problem: uniform bounds for limit cycles.)
在动力系统与微分方程中（比如生态学里捕食者与猎物数量的周期性波动），系统的稳定闭合循环运动被称为极限环。希尔伯特在 1900 年第十六问题中发问：给定复杂程度的方程，内部最多能产生多少个孤立的极限环？
手稿证明了在平面多项式向量场中，孤立极限环的总数存在一个绝对有限的统一上限，该上限仅取决于方程的多项式次数，从数学底层证明了这类物理系统绝不会陷入无休止且不可控的轨道发散。
26. 罗赫林多重混合问题 (145. Rokhlin’s multiple-mixing problem.)
想象在一杯水里滴入一滴红墨水并持续搅拌，如果任意两个小区域的墨水浓度随着时间推移已经混合均匀，那么任意三个、四个、乃至任意多个区域是不是也必然在同一时刻完全混合均匀？
手稿证明了经典遍历理论中悬置几十年的难题：只要一个保测度动力系统满足两两充分混合，它就必定在所有有限阶数上全部彻底混合均匀，排除了存在诡异的高阶不混合盲区的可能。
27. 三维空间无周期平铺猜想的反例 (155. A counterexample to periodic tiling in dimension three.)
如果有一块形状极其特别的单一三维积木，能够严丝合缝地铺满整个三维空间而不留任何空隙，那么它能不能像普通立方体瓷砖那样，以某种规律的周期性平移方式铺满空间？
手稿在三维空间中构造出了一个震动几何界的反例：这一块单一积木确实能够铺满整个三维空间，但它能铺满的方式全部都是非周期的，绝不存在任何具有空间周期平移对称性的平铺方案。
28. 博苏克几何分割猜想在九维空间失效 (156. Borsuk's conjecture fails in dimension nine.)
在二维平面上，任何有限物体都可以切成三块，使得每块的直径都比原物体更小；在三维空间里则需要四块。几何学家博苏克在 1933 年猜测：在任意多维空间中，任何物体是不是都必定能切成维度加一块更小的碎块？
手稿在九维空间中成功构造出了反例：在九维空间里，竟然存在一个特定物体，无论怎么精巧切割，切成十块也绝对无法让每一块的直径都严格缩小。这证明低维空间的几何分割常识在高维会无情失效。
29. 欧几里得平面五色无法染完 (158. The Euclidean plane cannot be colored with five colors.)
著名的哈德维格-纳尔逊问题提出：要给整个无限大的二维平面染上颜色，要求相距恰好为一米的两点颜色绝对不能相同，最少需要几种颜色？过去数学界只知道四种肯定不够，七种肯定足够。
手稿严格证明了五种颜色也绝对不够用，任何五种颜色的染色方案都必定包含一对相距为一米的同色点，从而将这个长年悬置的染色下界推向了六或七种颜色。
30. 埃尔德什倒数和猜想 (159. Erdős’s reciprocal-sum conjecture and quasipolynomial Szemerédi bounds.)
数学大师保罗·埃尔德什曾提出一个巨额悬赏猜想：如果一串正整数的倒数相加能够达到无限大（例如素数序列的倒数和就是发散的），那么这个数列内部是否必定包含任意指定长度的等差数列？
手稿完整证明了埃尔德什的这一宏伟预言：只要集合元素的倒数和发散，其中就必定包含任意长度的等差序列，彻底将数论与加法组合学的内在规律性推向了极致。
31. 西摩第二邻域猜想 (173. Seymour’s second-neighborhood conjecture.)
在一个单向通行的交通网络或单向社交关系图中，是不是必然能找到这样一个特殊的核心节点：从他出发走两步能到达的所有人，数量至少不比走一步就能直接到达的人少？
这个在 1990 年提出的简洁图论猜想一直让离散数学家感到极其棘手。手稿证明了在任何有限单向网络中，这样的节点必然存在，确立了网络扩散与层级结构的一个普遍基本规律。
32. 循环哈达玛矩阵与巴克序列猜想 (179. The circulant Hadamard and Barker-sequence conjectures.)
在雷达通信与信号工程中，科学家极度渴望找到具有最完美抗干扰能力的二进制编码信号，即信号与自身的任何时间平移重叠都不会产生虚假回波（巴克序列）。
手稿从数学根源上证明了这类完美的循环实数对称矩阵只在阶数为一和四的极小规模下存在；同时确立了长距离的理想雷达序列在数学上根本不可能存在，终结了工程界半个世纪的盲目搜寻。
33. 图灵度的刚性问题 (241. Rigidity of the Turing degrees.)
在计算理论的最底层，所有计算问题根据能否相互借助算力解决被划分成不同的难度层级（图灵度）。数理逻辑学家想知道：这个庞大到不可思议的算力层级结构，内部是否存在某种对称性置换？
手稿证明了这个体系具有绝对的刚性：任何保持相对计算难度的结构映射，都只能是原地不动的恒等映射。计算复杂性宇宙的等级阶梯具有不可更改的绝对唯一秩序。
34. 旋转黑洞视界附近的强宇宙审查假说 (264. Strong cosmic censorship near two-ended Kerr data.)
彭罗斯曾提出著名的宇宙审查假说：大自然是厌恶裸奇点的，黑洞内部撕碎一切物理定律的奇点必须被事件视界永远遮蔽，物理学的因果律和决定论才不会在宇宙中崩溃。
手稿在真实的旋转黑洞时空附近证明了局部强宇宙审查假说成立：在绝大多数真实物理扰动下，黑洞内部都不存在可以平滑穿越的时空通道，经典广义相对论的未来可预测性在数学上得到了捍卫。
35. 自旋为 1 的霍尔丹能隙猜想 (268. The spin-one Haldane gap.)
诺贝尔物理学奖得主霍尔丹在 1980 年代预言：微观磁性原子排成一条链时，如果原子自旋是整数（比如一），它的最低能量基态和激发态之间就会出现一道无法逾越的能量鸿沟（能隙），宏观上呈现出稳定的拓扑相。
这个让凝聚态物理学家激动了四十年的拓扑量子现象，此前长期仅靠物理实验和数值模拟验证。手稿首次在纯数学上给出了严格无懈可击的证明，确立了该自旋链的能隙恒定保持为正。
36. 纯表面纽结手术猜想 (306. The purely cosmetic surgery conjecture.)
在三维拓扑学中，把三维球面里的一个打结绳圈挖掉，再以某种旋转角度把它重新缝合回去（登恩手术），能不能巧妙地缝出一个外表和原来一模一样、但内里手术轨迹却不同的全新空间？
手稿证明了在真正的打结绳圈上，绝不可能通过两种不同角度的缝合得到相同的拓扑空间。几何手术无法伪装自己的刀口，三维拓扑形态具有极其严苛的形状指纹。

37. 格罗滕迪克同伦假说 (312. The Grothendieck homotopy hypothesis.)
数学教皇格罗滕迪克曾提出一个极具哲学美感的构想：几何空间中所有关于路径、曲面以及高维环绕的变形信息，在本质上能不能完全等价于一种纯粹的代数代金石（无穷群胚）？
手稿完整证明了格罗滕迪克的这一伟大假说，确立了几何拓扑空间的高维连续变形与现代高阶代数体系之间百分之百的忠实转化，完成了现代几何与代数的一场宏伟统一。
38. 廷利球面等距延拓问题 (322. Tingley’s sphere-isometry problem.)
想象两个高维或者无穷维的抽象几何空间，如果这两个空间单位球表面的几何外皮能够完全严丝合缝地保距对贴，那么这两个空间整体内部是不是也必须完全对称等价？
廷利在 1987 年提出的这个著名几何分析问题困扰了学界数十年。手稿在任意维度下证明了：球表面之间的保距映射必定可以唯一扩展为整个空间内部的刚性线性变换，空间的表皮测量完全决定了内部结构的命运。

39. 单连通平面区域的热点猜想 (369. The hot spots conjecture for simply connected planar domains.)
想象一块平整绝热的金属薄片，加热后让热量在其内部自由扩散。随着时间推移，整块金属片上最热的一点和最冷的一点，会不会最终必然游移并固定在金属片的最外围边缘上？
这项直觉上非常显然、但在偏微分方程中极难证明的物理猜想，手稿严格证明了对所有没有孔洞的平滑平面区域都严格成立：区域内部绝不会窝藏极限热点，最热与最冷的位置必然死死锁定在外边界。

40. 八维空间中的德乔吉猜想 (375. De Giorgi's conjecture in dimension eight.)
著名数学家德乔吉曾提出一个极其深刻的猜想：对于一类广泛描述相变界面（比如水和冰交界面的平整化）的偏微分方程，如果解在一个方向上是严格单调变化的，那么这个多维解整体是不是其实只依赖于单一一维方向，从而界面必须绝对平坦？
此猜想在低维很早就被证实，但在高维一直悬而未决。手稿在理论最临界的八维空间端点处，完整证明了解的平坦一维依赖性，完成了非线性微分方程与极小曲面理论之间的一场巅峰跨越。