玫瑰线：一个余弦函数，怎么"开"成一朵花

在极坐标里画一个余弦函数，随着角度 θ 不断增大，曲线会一点点展开，最终呈现出花瓣状的图案。这就是所谓的玫瑰线，标准形式是 r = cos(kθ)。

一个峰值，就是一瓣

理解它的关键很简单：每当 cos(kθ) 经过一个峰值，就对应描绘出一个花瓣。所以花瓣的数量，本质上由 k 决定了余弦振荡的"节奏"。

当 k 是整数时

- k 为奇数 → 得到 k 个花瓣
- k 为偶数 → 得到 2k 个花瓣

为什么奇数会"少一半"？因为对奇数 k 来说，负半周期所画出的轨迹，会和正半周期描绘的图案重合，看起来就像没多长出新花瓣。

分数 k：曲线要绕好几圈才闭合

如果设 k = n/d 是一个分数，情况就更有意思了——曲线不会在一圈内闭合，而是需要循环多次。通常要到 θ = 2πd 之后才闭合；而当 n 和 d 都是奇数时，θ = πd 就够了。

举个具体例子：k = 7/4 时，需要走到 θ = 8π 才能完成全部图案，最终形成 14 个相互重叠的花瓣。

留个问题给你

分数的分子分母组合几乎是无穷的，不同搭配出来的花形差别很大。

你会先尝试哪个分数呢？ 是想要花瓣密一点的，还是想试试那种"看起来没闭合、其实快闭合了"的临界情况？