小学阶段什么应用题型最让人头疼？
那一定是“牛吃草”问题了！
不只难倒很多学生，大部分家长看到这类题也是无从下手。
牛吃草问题又称为消长问题，是由17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
今天我们就来讲一讲“牛吃草”问题的底层逻辑和解题思路，将这类型题掰碎、吃透！
01
·拆解牛吃草·
解决“牛吃草”问题的主要依据:
① 草每天的生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值；
④ 新生的草量=每天生长量 x 天数。
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的公式解法可总结为：
（1）设定1头牛1天吃草量为“1”；
（2）草的生长速度=（对应牛的头数 x 较多天数-对应牛的头数 x 较少天数）÷（较多天数-较少天数）；
（3）原来的草量=对应牛的头数 x 吃的天数-草的生长速度 x 吃的天数；
（4）吃的天数=原来的草量÷（牛的头数-草的生长速度）；
（5）牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度。
上述公式是解决消长问题的基础。牛吃草问题典型的特点隐含在建模之中：
💡 随着时间的推移，草的总量在不断地增加。
💡 草的总量包含两部分，一部分是原有草量，属于不变量；
💡 另一部分是新生长的草量，随着时间的推移在不断地增加。
另外，模型中还要假设两个不变量：一是每头牛每天的吃草量是不变的，二是草每天生长的速度不变。
正是由于这两个不变量，才能够推导出上面的基本公式。
公式可以总结，但问题是“牛吃草”有很多的变型，孩子只背公式是依然做不出题的。
只有理解了“牛吃草”问题的本质和底层思维，才能以不变应万变，举一反三，轻松应对。
因为“牛吃草”这个场景离我们的实际生活比较远，我们先来看一道更接近生活的“吃苹果”题，来帮助理解。
首先，苹果有两种吃法：
① 7人吃，8天吃完，所以苹果有：
1 x 7 x 8=56（个）
② 10人吃6天吃完，所以苹果有：
1 x 10 x 6=60（个）
现在我们来思考一个问题：为什么同样一箱苹果，吃到苹果的数量不一样呢？——因为苹果会腐烂。
再来思考一个问题：苹果的腐烂和什么有关？——时间。
找到影响苹果腐烂的唯一因素，也是解题的关键变量，接下来做对比：
因为多了2天，能吃的苹果就少了4个，说明2天之内腐烂4个苹果，所以一天腐烂4÷2=2（个）
列成算式：
1 x 7 x 8=56（个）
1 x 10 x 6=60（个）
（60-56）÷（8-6）=2（个）
答案清晰明了。
02
·牛吃草解析拓展·
小学生通常因为以下原因而觉得应用题很难解：对数学语言的掌握欠佳；对运算方式的理解很有限；当问题的结构比较难懂时，他们不能将已知项关联到未知项上；以及不会分析问题的情境。
在这些情况下，建模的解题方式效果就十分显著了，CPA教学法能将复杂的数学问题通过建模的方式简化，通过实物转化成图像，培养孩子从具体到抽象的运算思维，让数学概念容易理解，不再难懂。
接下来我们用新加坡数学的CPA建模法来看看“牛吃草”问题的解题过程：
（一）草不断生长
题目：牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供10头牛吃20天，或者15头牛吃10天。如果饲养30头牛，多少天可以把牧场上的草吃完？
解题思路：牧场上的草包含两部分，原有的草和新长出的草。本题的关键是求出原有的草量和每天新长的草量，即草的生长速度。
将题目信息通过图像表述出来：
解答：
假设1头牛1天吃1份草。
10头牛20天吃的草：10 × 20=200（份）—— （原有的草+20天新长的草）
15头牛10天吃的草：15 x 10=150（份）——（原有的草+10天新长的草）
对比发现，20-10=10（天）生长200-150=50（份）草，即可求出原有草量和草的生长速度。
每天新长的草：50÷10=5（份）
原有的草：200-5×20=100（份）
30头牛中，有一部分牛吃新长出的草，有一部分牛吃原有的草，原有的草吃完的天数就是所求的天数。
安排5头牛吃每天新长的草，剩下的25头牛吃原有的草，当原有的草都吃完时，所有的草就都吃完了。
于是，30头牛吃完草的天数：100÷（30-5）=4（天）
（二）草不断减少
题目：进入冬季，牧场上的草开始枯萎，并匀速减少，现在牧场上的草量可供8头牛吃9天，或可供16头牛吃6天。照此计算，这片牧场上的草可供多少头牛吃16天?
解题思路：草匀速减少，因此在求解原有草量的时候应该用总草量加上枯萎的草。
将题目信息通过图像表述出来：
解答：
假设1头牛1天吃1份草。
8头牛9天吃草：8 x 9=72（份）
16头牛6天吃草：16 x 6=96（份）
对比发现，9-6=3（天）枯萎了96-72=24（份）草，从而可以求出每天枯萎的草量和原有的草量。
每天枯萎的草：（96- 72）÷（9-6）=8（份）
原有草量：72+9×8=144（份）
要求可供多少头牛吃16天，用原有的草÷16天可以求出每天一共减少的草（枯萎的草+牛吃掉的草），就可以求出牛的头数。
草每天枯萎8份，相当于8头牛每天的吃草量。
每天减少的草：144÷16=9（份）
16天吃完所需牛数：9-8=1（头）
，时长
牛吃草问题是一个很经典的问题，值得孩子在不同的年龄阶段进行练习，涉及到的数学思维方法也比较多，在现实中也有很多的类似问题：如车站检票问题、超市排队付款问题、水池抽水问题、大坝泄洪问题等等。
牛吃草类问题并不复杂，小朋友们可以尝试用多种解法解题，将各种方法思路融会贯通，从而建立自己解决问题的独特思维。
多年以后你可能会遗忘这个问题，但是思考问题的方式，将会一直产生影响。
爱因斯坦曾说：“所谓智慧，就是把在学校学过的东西都忘掉后，剩下来的东西”。
03
·Mathplore新加坡数学·
在新加坡数学中，建模的方式有很多种类型，如果可以举一反三，不仅解决牛吃草类问题信手拈来，整个小学数学各类应用题都能迎刃而解。
Mathplore新加坡数学专为4-12岁孩子设计，基于新加坡教育部（MOE）数学指导意见和新加坡原版数学教材，采用先进的CPA教学法，培养孩子的建模能力和数学思维。
Mathplore在课程设计上回避了“题海战术”“知识点连贯性差”的短板，具体体现在：
✅ 内容难度螺旋形上升，爬楼式稳步前进，不会忘东忘西
✅ 同一知识点也用不同题型训练，拒绝“题海战术”
✅ 知识点和场景应用覆盖全面，搞定幼、小学数学应用题
CPA建模法
Mathplore采用领先的CPA建模教学法，将复杂的数学问题通过建模的方式简化，培养孩子从具体到抽象的运算思维，让数学概念更简单易懂，减小孩子面对复杂数字公式时的心理压力。
鼓励式教学
Mathplore遵循儿童认知规律，循序渐进，引导孩子主动思考，做出大胆猜想和探究，在探究过程中，孩子是主体，老师给予引导和帮助，以提升孩子思维逻辑性，培养学习好习惯。
多角度思辨
同一道题Mathplore的老师也能给出多种解法，让孩子独立思考的同时也能对比观察不同的解题思路，激发孩子多角度思维的能力。
Mathplore新加坡数学始终认为，学习任何一门学科最重要的都是启发好奇心与兴趣引导，当孩子有了兴趣自然会主动钻研，找到好的老师指引孩子亦是关键。
